代数基础

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代数基础

定义 圈圈是看过并理解 打钩是可以自己推导并记住

定义 1.1

R是一个环,M是Abel群,若存在一个映射RxM->M & (a,x)->ax, 满足以下性质:

  • a(x+y)=ax+ay
  • (a+b)x=ax+bx
  • (ab)x=a(bx)
  • 1x=x, x,y in M, a,b in R

则M是一个R左模(left-R-module)

定义 1.2

R右模(right-R-module)

定义 1.3

设M是R模,N是M的非空子集,如果N是M的子群,而且对所有a in R, x in N,都有ax in N,则称N是M的子模(submodule)

定义 1.4

如果非零R模M的子模只有M和0,则称M为单模(simple module)

定义 1.5

如果M=RX,则称X是M的生成元集,X的元素称为M的生成元(generator)。如果X是一个有限集,则称M是有限生成的(finitely generated)。如果M=(X),则称M是循环模(cyclic module)

设K是R模M的一个子模,则K的陪集的集合M/K={x+K|x in M},关于自然定义的加法和模的乘法:(x+K)+(y+K)=(x+y)+K, a(x+K)=ax+K,称为一个R模,称为商模(factor module)